Elke lezer van de inFormanT heeft wel eens met boventonen te maken gehad. Maar niet alleen in de fonetiek komen boventonen ter sprake. Iedereen die zelf muziek maakt weet er ook wel het een en ander van: strijkers kennen de flageolet tonen, (koper)blazers beschikken over het algemeen maar over een zeer beperkt aantal grondtonen en moeten verder boventonen daarvan tot klinken brengen en organisten kunnen extra pijpenrijen (registers) inzetten om zo bepaalde boventonen te versterken en de klankkleur te veranderen. Nu doet er zich in de muziek echter een probleem voor: de harmonischen zijn namelijk lang niet zo harmonisch als hun naam wel doet vermoeden.

Intervallen

Een toon van bv 220 Hz heeft boventonen met frequenties van resp. 440 Hz, 660 Hz etc. Voor de afstanden tussen twee tonen gebruikt men in de muziek de logaritmische maat interval. Het interval tussen de grondtoon en de eerste harmonische wordt een octaaf genoemd. De afstand tussen twee tonen met een frequentie verhouding van 2:3 (dus tussen de eerste en tweede harmonische) een kwint, de verhouding 3:4 hoort bij de kwart, 4:5 bij de grote terts, 5:6 bij de kleine terts, 6:7 bij de grote secunde, en die van 7:8 bij de kleine secunde.

De verhouding van de grondtoon en de eerste harmonische is dezelfde als die van de eerste en de derde boventoon (220:440 = 440:880). Dit komt tot uitdrukking in het feit dat de opeenstapeling van een kwint (tussen eerste en tweede harmonische) en een kwart (tussen tweede en derde) een octaaf vormt. Het blijkt ook direct uit de verhoudingen: 2/3 x 3/4 = 1/2. Evenzo is een grote terts plus een kleine terts een kwint (4/5 x 5/6 = 2/3).

Deze intervallen zijn op de piano makkelijk terug te vinden. De afstand tussen twee toetsen is steeds een halve toon. De afstand tussen twee tonen met de zelfde naam is een octaaf. De kleine terts bestaat uit anderhalve toon, de grote terts uit 2 tonen, de kwart en de kwint uit resp. 2 1/2 en 3 1/2 toon.

Als we vier kwinten op elkaar stapelen, bv. C-G, G-d, d-a en a-e’ verwachten we dat deze toon e’ dezelfde frequentie heeft als de toon die we krijgen door een grote terts en twee octaven vanuit de C omhoog te gaan. Helaas: 5/4 x 2 x 2 = 5 = 80/16 maar (3/2)4 = 81/16. Dit verschil wordt een syntonisch komma genoemd. Een ander bekend komma is het pythagoreïsche, het verschil tussen 7 octaven en 12 kwinten: (3/2)12 = 531441/4096 maar 27 = 524288/4096.

In de (westerse) muziek kennen we geen intervallen kleiner dan een halve toon. In halve tonen gezien zijn twaalf kwinten en 7 octaven wel identiek. Op een toetsinstrument is er dus ook maar een toets die zowel moet fungeren als 12e kwint als als 7e octaaf. Omdat onzuivere octaven totaal onacceptabel zijn, is het dus onmogelijk om de kwinten op een toets instrument allemaal zuiver te stemmen. Ditzelfde geldt voor de tertsen.

Het zou wel mogelijk zijn alle zuivere intervallen op een toetsinstrument aan te brengen, als we veel meer toetsen per octaaf zouden gebruiken. We zouden aparte toetsen moeten hebben voor de dis (de kwint boven de Gis) en de es (de kwint beneden de bes). Ook zouden er aparte toetsen voor de e als kwint boven de A en voor de e als terts boven de c (etc.). Hiermee zouden de problemen echter lang niet opgelost zijn. Zouden we bijvoorbeeld een c en een e gelijktijdig spelen, dan gebruiken we de e als grote terts van de c, spelen we vervolgens A en e gelijktijdig, dan hebben we de andere e nodig, waardoor we een heel gek intervalletje moeten spelen. Zoals we verderop nog zullen zien wordt in de praktijk een zodanige waarde gekozen dat een toets verschillende functies vervullen kan. Vaak wordt een aantal gebruiksmogelijkheden uitgesloten.

Om niet steeds met verhoudingen te hoeven rekenen is er een logaritmische maat gedefinieerd, de cent. Een cent is 1/1200 octaaf. (Oftewel 1/100 semitoon). Een cent is de verhouding van . Als de frequentieverhouding tussen twee tonen is, dan geldt:

waarbij b de grootte van het interval uitgedrukt in cents is. b kunnen we dan als volgt berekenen:

(Andere maten zijn het millioctaaf en de Savart (= 4 cent), die ongeveer overeenkomt met het kleinst hoorbare toonhoogteverschil.) Het syntonisch komma bedraagt dus 1200.2log(81/80) cent = 21,5 cent. Voor de Pythagoreïsche komma vinden we 23,5 cent. Voordat we kijken welke oplossingen er in de loop der tijden gevonden zijn, zal ik eerst de begrippen vals en zuiver nader toelichten.

Wanneer we twee geluidsbronnen met een vrijwel doch niet precies gelijke frequentie hebben, zal het lijken alsof we twee tonen van gelijke frequentie hebben met een steeds wisselend fase verschil.

Fig. 2: Twee tonen met vrijwel gelijke frequentie in het tijddomein

Fig. 3: Ruigheid van intervallen op de viool.
De c' wordt op één viool aangehouden, terwijl een andere bij c' beginnend geleidelijk over twee octaven omhoog gaat.
De ordinaat van de kromme geeft de mate van ruigheid van het corresponderende interval aan.

De tonen zullen elkaar dus beurtelings verzwakken en versterken. Dit verschijnsel heet in de muziek zweving. Wanneer het frequentie verschil iets groter wordt horen we geen afzonderlijke zwevingen meer, maar ervaren we de afwijking als valsheid of ruigheid. We hebben vrijwel altijd te maken met tonen die vergezeld gaan van een groot aantal boventonen. Deze kunnen natuurlijk ook weer zwevingen veroorzaken. In Figuur 3 (WOOD1944) heeft men getracht het verband tussen de afstand van twee samengestelde tonen en de ruigheid grafisch weer te geven.

Nu is het niet zo dat alleen absoluut zuivere intervallen mooi gevonden worden. Een hele rustige zweving wordt over het algemeen juist als zeer aangenaam ervaren. De mate van onzuiverheid die nog geaccepteerd en mooi gevonden wordt is sterk tijdsafhankelijk. In de middeleeuwen was die tolerantie waarschijnlijk zeer gering; in slot accoorden werden alleen octaven en kwinten gebruikt. Dit zijn de intervallen die het minste ruigheid vertonen, de meest consonante intervallen. In de 17e eeuw werden ook tertsen als volkomen consonanten (tegenover dissonanten) beschouwd. In de 19e eeuw treffen we op sommige orgels het register ”Schwebung” aan, dat bewust enigszins vals gestemd werd.

Oplossingen

Zoals we eerder al zagen zijn 7 zuivere octaven onverenigbaar met 12 zuivere kwinten. In Fig. 3 is duidelijk te zien dat er bij een geringe afwijking van het octaaf een grote valsheid ontstaat. Hierom worden de octaven bij een toets instrument altijd exact zuiver gestemd. Het ligt nu voor de hand de kwinten ook gewoon zuiver te stemmen maar de laatste 24 cent te laag te maken. De zgn. kwintencirkel kan een en ander misschien verduidelijken.

Fig. 4: De kwintencirkel; Pythagoreïsche stemming.
De cijfers geven de afwijking in centen t.o.v. het reine interval aan.

Met het vastleggen van de twaalf kwinten en het onveranderlijk zuivere octaaf is de relatieve toonhoogte van alle tonen bepaald. We kunnen nu ook tertsketens opstellen. In de tertsketens staat de grote van alle twaalf grote tertsen weergegeven (op elke toon een). Merk op dat drie grote tertsen een octaaf vormen dat 41 cent te klein is.

Fig. 5: Middentoonstemming;
5,4 is eigenlijk 1/4 syntonisch komma ( = 5,376)

Deze stemming, de Pythagoreïsche, was in de middeleeuwen gebruikelijk. Opvallend is de keuze ten gunste van de kwinten (de terts werd immers niet als een volkomen consonant ervaren) waarbij één kwint onbruikbaar vals is (de zgn wolfskwint). In de middeleeuwse muziek wordt deze echter niet gebruikt.

Aan het eind van de middeleeuwen gaat men aan de stemming sleutelen om de tertsen bruikbaarder te maken. Dit resulteert in de middentoon stemming (en varianten daarop). De middentoonstemming kan beschouwd worden als de tegenhanger van de Pythagoreïsche. De tertsen worden zo zuiver mogelijk gemaakt. In principe kan door de kwinten D-A, F^#-C^# en B^b-F een komma te klein en G^#-D^# twee komma’s te groot te stemmen, bereikt worden dat op 4 na alle tertsen zuiver zijn. Om niet al te veel onbruikbare kwinten te hebben, werd de onzuiverheid gelijkmatig verdeeld.

De tertsketens komen er als volgt uit te zien:

In de Barok ging men steeds meer verschillende toonsoorten gebruiken, d.w.z. meer intervallen gebruiken. Men probeerde de onzuiverheid van de wolfskwint en de onbruikbare tertsen ten koste van de goede tertsen af te zwakken. In de middentoonstemming waren de kwinten 1/4 komma te klein, in de 1/5- en 1/6-kommastemming, die toen in zwang kwamen, zijn de kwinten resp. 1/5 en 1/6 komma te klein, waardoor de onzuiverheid inderdaad beter over de verschillende intervallen verdeeld wordt. In deze tijd ontstaan ook de ‘wohltemperierte’ stemmingen. In deze stemmingen zijn alle intervallen acceptabel, maar zijn niet alle tertsen en kwinten even groot, zoals dat bij de tot nu toe besproken stemmingen (afgezien van de wolfskwinten) het geval was. De meest geniale Wohltemperierung is wel die van Andreas Werckmeister (1691).

Fig. 6: Werckmeister I

In de 19e eeuw werden steeds meer toonsoorten door elkaar gebruikt, en was er nauwelijks meer sprake van veel en weinig gebruikte intervallen. Steeds meer werd gebruik gemaakt van de gelijkzwevende stemming (ook wel evenredigzwevende stemming genoemd), die al in 1584 door Simon Stevin in zijn ”Van de Spiegheling der Singhconst” werd voorgesteld. Alle tertsen en kwinten zij nu even onzuiver en evengoed bruikbaar. De prijs hiervoor is echter hoog: alle tertsen zij hopeloos vals en de karakterverschillen tussen de toonsoorten (waarvan componisten vroeger vaak gebruik van maakten) zijn helemaal verdwenen.

Fig. 7: Evenredig zwevende stemming;
alle tertsen zijn nu 13,7 cent te groot.

Het gebruik van stemmingen

De Pythagoreïsche stemming is geheel in onbruik geraakt. Alleen het carillon van de Grote Kerk te Bergen op Zoom schijnt nog volgens deze temperatuur gestemd te zijn. De middentoon-stemming vinden we nog bij enige orgels uit de 16e, 17e en zelfs 18e eeuw. Sporadisch worden er nieuwe orgels met een middentoonstemming gebouwd. Op deze instrumenten komt muziek van componisten als J.P. Sweelinck buitengewoon goed tot zijn recht. Behalve dat er veel tertsen in voorkomen, maakten de componisten gebruik van het feit dat er halve en hele tonen van verschillende grote zijn. De muziek klinkt bij deze temperatuur veel levendiger en wordt nergens saai. De stemmingen van Werckmeister en tijdgenoten worden niet alleen voor historische uitvoeringspraktijken regelmatig gebruikt. Helaas worden bij restauraties van oude instrumenten vaak kosten noch moeiten gespaard om alles in de oude staat terug te brengen (zelfs de oorspronkelijke absolute toonhoogte) maar wordt wel de gelijkzwevende stemming aangebracht.

Er is altijd veel discussie over de vraag hoe men de muziek van J.S. Bach moet spelen. Het is bekend dat Bach een groot voorstander was van de in zijn tijd opkomende stemmingen waarin alle toonsoorten bruikbaar zijn. Er zijn echter geen aanwijzingen dat Bach de voorkeur gaf aan de evenredigzwevende stemming. Anderzijds was deze toentertijd wel bekend, en werden er, hoewel de evenredigzwevende stemming pas in de loop van de vorige eeuw algemeen wordt toegepast, wel Wohltemperierungen gebruikt die veel op de gelijkzwevende stemming lijken. Het zou echter merkwaardig zijn dat Bach voor het ”Wohltemperierte Klavier” in elke toonsoort een stuk schreef als alle toonsoorten hetzelfde klinken.

Andere instrumenten

Tot slot wil ik nog iets zeggen over instrumenten die geen vastliggende stemming hebben. Hopelijk is de principiële onmogelijkheid van een geheel zuivere stemming duidelijk geworden. Toch beweren veel orkestmusici zuiver te spelen. Wat zij in feite doen is hun eigen toon zodanig aanpassen dat er zo min mogelijk zwevingen ontstaan. Hierdoor zullen de intervallen in een samenklank altijd optimaal zijn, en zullen de ’fouten’ voornamelijk in de sprongen van de ene naar de andere toon optreden. Dit valt echter helemaal niet op. Bovendien kan steeds een zodanige temperatuur gekozen worden dat de (denkbeeldige) valse intervallen uit de kwintencirkel en de tertsketens zodanig verschuiven dat de gebruikte toonsoort die is met de beste intervallen.

Bibliografisch commentaar

Een zeer heldere en uitvoerige beschrijving, waar mijn artikel zich ook grotendeels op baseert, is:

• Dr J. van Biezen
  Stemmingen, speciaal bij toetsinstrumenten
  Den Haag 1975

Van Biezen besteedt bovendien aandacht aan de praktisch kant, het aanbrengen en identificeren van stemmingen.

Beknoptere artikelen zijn:

• G. Dekker
  Stemmingen voor orgels en andere toetseninstrumenten
  in ”Gregoriusblad”, jrg 103, afl 1, maart 1979.

   

• W.J. Eradus
  Stemmen en stemmingen in de muziek
  in ”kerk en muziek”, 1985 (afl 1 t/m 4).
  Th. van Huystee
  Over stemmen en stemmingen
  in ”Het Orgel”, 1970

Een algemenere inleiding in de fysische verschijnselen die voor de muziek van belang zijn, wordt gegeven door:

• A. Wood
  De natuurkunde der muziek
  Amsterdam 1949.

---

Deze webpagina is het laatst gewijzigd op 31 juli 2000